在孕期的第六周，是否可以进行亲子鉴定？答案是肯定的。目前，有一种无创胎儿亲子鉴定技术可以在这一时期实施，但传统的方法如羊水穿刺和无痛绒毛取样则需等到大约第16周或更晚一些的时候。这种无创胎儿亲子鉴定的费用大致在4500元左右。此检测仅需要抽取孕妇10毫升的静脉血液作为样本，不需要手术操作。

关于在哪里进行亲子鉴定，并非所有三级医院都提供此类服务，因为只有那些拥有相应法医鉴定资质的实验室才能开展这项工作。因此，建议您前往专业从事亲子鉴定的机构进行。

至于费用，不同地区和机构的收费标准会有所差异。一般而言，私人隐私性质的亲子鉴定可能在2200至2400元之间，司法用途的亲子鉴定则在2400至3200元，而无创胎儿亲子鉴定的价格大概在4000至4500元。

接下来是亲子鉴定的一般流程：

1. 咨询与预约：您可以事先通过亲鉴网咨询具体细节，并向工作人员说明您的健康状况。他们将会根据你的情况来制定最合适的采样计划和评估类型。

2. 样本采集：对于无创亲子鉴定，只需要采集孕妇的手臂静脉血10毫升。男方可以提供的样本包括但不限于头发、血液、口腔拭子、牙刷、精液斑点和烟蒂等。

3. 付费环节：大多数亲子鉴定中心接受银行转账、现金支付以及在线支付方式。一旦样品送达，会通知客户完成付款。

4. DNA分析：缴费之后，将样本送至实验室进行分析。通常情况下，结果会在3到4天内公布。（请注意，这些结果是供参考之用，不具备法律效力。）

5. 接收结果报告：无创亲子鉴定的结果可能会更快获得，鉴定报告可以通过邮寄的方式发送给客户或者直接到鉴定中心取纸质版报告。